Найти закон изменения момента силы

Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА!

Физика — рефераты, конспекты, шпаргалки, лекции, семинары

Закон изменения момента импульса. Закон сохранения момента импульса

Возьмём случай одной материальной точки. Вектор L = [r,mv] называется моментом импульса материальной точки. Производная по времени от этой величины будет формульным выражением, так как векторное произведение векторов dr/dt и v равно нулю. Множитель mdv/dt есть сила F, действующая на материальную точку. Вектор M = [r,F] называют вектором момента силы.

Оно легко обобщается на случай системы материальных точек, где момент импульса системы есть векторная сумма всех Li – моментов импульса отдельных материальных точек системы. В этом случае под M надо пони-мать результирующий момент всех внешних сил, так как результирующий момент внутренних сил равен нулю на основании третьего закона Ньютона. Уравнение и называют законом изменения момента импульса. Для замкнутой механической системы:
Fi = 0, M = 0, L = const.

То есть в замкнутой механической системе момент импульса есть величина постоянная – закон сохранения момента импульса. Этот закон нередко используется при решении задач. Если для конкретной механической системы удалось заметить, что при некотором выборе начала отсчёта момент внешних сил отсутствует или пренебрежимо мал, то момент импульса этой системы надо считать постоянным.

Скажем, для системы из двух материальных точек должно быть m1[r1,v1] + m2[r2,v2] = const. Для материальной точки в поле действия центральной силы должно выполняться условие [r,v] = const, где r – радиус-вектор материальной точки относительно силового центра. Последнее равенство означает постоянство секторной скорости – площади, “замазываемой” радиус-вектором за единицу времени. На рис. 1 видно, что есть высота заштрихованного треугольника, а vdt – основание его. Произведение этих величин есть величина векторного произведения [r,v] и вместе с тем это удвоенная площадь, замазанная радиус-вектором за время dt.

worldofscience.ru

Закон изменения момента импульса.

Рассмотрим произвольную систему тел. Моментом импульса системы назовем величину L, равную векторной сумме моментов импульсов отдельных ее частей Li , взятых относительно одной и той же точки выбранной системы отсчета.

Найдем скорость изменения момента импульса системы. Проведя рассуждения, аналогичные описанию вращательного движения твердого тела, получим, что

скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы.

Причем вектора L и M задаются относительно одной и той же точки O в выбранной СО. Уравнение (21) представляет собой закон изменения момента импульса системы .

Причиной изменения момента импульса является действующий на систему результирующий момент внешних сил. Изменение момента импульса за конечный промежуток времени можно найти, воспользовавшись выражением

.

Приращение момента импульса системы равно импульсу результирующего момента внешних сил, действующих на нее.

Закон сохранения момента импульса.

Из закона изменения момента импульса, полученного нами для системы тел, вытекает закон сохранения момента импульса применительно к механике:

момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю.

Еще раз подчеркнем, что при использовании этого закона моменты импульса и сил необходимо брать относительно одно и той же оси.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы и выполняется для любых, а не только механических систем.

Следствия из закон сохранения момента импульса :

· в случае изменения скорости вращения одной части системы другая также изменит скорость вращения, но в противоположную сторону таким образом, что момент импульса системы не изменится;

· если момент инерции замкнутой системы в процессе вращения изменяется, то изменяется и ее угловая скорость таким образом, что момент импульса системы останется тем же самым;

· в случае, когда сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю, момент импульса системы относительно этой же оси остается постоянным.

поворачиваться в сторону, противоположную движению человека относительно Земли;
ко второму следствию
— ко второму следствию — студент, держащий в вытянутых расправленных руках гантели, сидит на скамье (скамье Жуковского), которая вращается вокруг вертикальной оси. В случае приближения гантелей к груди угловая скорость движения системы “ скамья-студент-гантели ” увеличивается.

к третьему следствию к третьему следствию — в начальный момент времени студент сидит на неподвижной скамье Жуковского и удерживает в руках раскрученное колесо. Пусть ось вращения колеса перпендикулярна оси вращения Z скамьи Жуковского, т. е. расположена в горизонтальной плоскости. При повороте колеса на 90 о в вертикальной плоскости проекция момента импульса системы “скамья-студент-колесо” на вертикальную ось Lz не изменится и останется равной нулю.

Следовательно, вектора угловых скоростей системы “студент-скамья” и колеса направлены в противоположные стороны.

Сохранение момента импульса и изотропность пространства.

Изотропность пространства обусловлена симметрией пространства к операции поворота . В случае поворота замкнутой системы на угол a относительно выбранной ИСО работу могут совершить только внутренние силы. При этом работа консервативных сил, зависящая исключительно от изменения взаимного расположения частей системы, равняется нулю. Неконсервативные силы ввиду отсутствия относительного движения частей системы работы не совершают. Следовательно, работа всех внутренних сил системы равняется нулю.

В соответствии с законом динамики вращательного движения и уравнением момент импульса замкнутой системы при осуществлении операции ее поворота сохраняется.

Таким образом, соблюдение условия позволяет получить закон сохранения момента импульса замкнутой системы, используя для этого вместо третьего закона Ньютона одно из свойств симметрии пространства — его изотропность .

www.kvadromir.narod.ru

Найдем скорость изменения момента импульса системы. Проведя рассуждения, аналогичные описанию вращательного движения твердого тела, получим, что

скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы.

Причем вектора L и M задаются относительно одной и той же точки O в выбранной СО. Уравнение (21) представляет собой закон изменения момента импульса системы .

Причиной изменения момента импульса является действующий на систему результирующий момент внешних сил. Изменение момента импульса за конечный промежуток времени можно найти, воспользовавшись выражением

.

Приращение момента импульса системы равно импульсу результирующего момента внешних сил, действующих на нее.

В неинерциальной системе к моменту внешних сил необходимо прибавить момент сил инерции относительно выбранной точки O.

Закон сохранения момента импульса.

Из закона изменения момента импульса, полученного нами для системы тел, вытекает закон сохранения момента импульса применительно к механике:

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы и выполняется для любых, а не только механических систем.

Следствия из закон сохранения момента импульса :

· в случае изменения скорости вращения одной части системы другая также изменит скорость вращения, но в противоположную сторону таким образом, что момент импульса системы не изменится;

Примеры :
к первому следствию — при движении человека, находящегося на поверхности диска, по окружности с центром, совпадающим с центром масс диска, последний начинает

к третьему следствию к третьему следствию — в начальный момент времени студент сидит на неподвижной скамье Жуковского и удерживает в руках раскрученное колесо. Пусть ось вращения колеса перпендикулярна оси вращения Z скамьи Жуковского, т. е. расположена в горизонтальной плоскости. При повороте колеса на 90 о в вертикальной плоскости проекция момента импульса системы “скамья-студент-колесо” на вертикальную ось Lz не изменится и останется равной нулю.

Сохранение момента импульса и изотропность пространства.

Изотропность пространства обусловлена симметрией пространства к операции поворота . В случае поворота замкнутой системы на угол a относительно выбранной ИСО работу могут совершить только внутренние силы. При этом работа консервативных сил, зависящая исключительно от изменения взаимного расположения частей системы, равняется нулю. Неконсервативные силы ввиду отсутствия относительного движения частей системы работы не совершают. Следовательно, работа всех внутренних сил системы равняется нулю.

Из уравнения вытекает, что результирующий момент внутренних сил в замкнутой системе отсчета также равен нулю

Таким образом, соблюдение условия позволяет получить закон сохранения момента импульса замкнутой системы, используя для этого вместо третьего закона Ньютона одно из свойств симметрии пространства — его изотропность .

Закон изменения и сохранения момента импульса

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 5

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных друг с другом. Оказывается, что количество уравнений для описания отдельных видов движений можно значительно уменьшить, если ввести физические величины, которые относятся ко всему твердому телу.

Рассмотрим произвольную систему частиц (материальных точек), которая перемещается относительно некоторой неподвижной точки О (рис. 4.1). Для каждой точки данной системы запишем второй закон Ньютона

, (5.1)

где (k = 1, 2, …, n) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов тела с выбранным элементом i, а – равнодействующая всех внешних сил, действующих на этот элемент, mi – масса i-го элемента.

Умножим векторно слева уравнение (5.13) на радиус — вектор точки i-го элемента, :

. (5.2)

Преобразуем левую часть:

(5.3)

Величина в (5.3) называется моментом импульса материальной точки (векторное произведение радиус – вектора точки на ее импульс).

Величину, равную векторному произведению радиус-вектора точки на вектор силы, действующей на точку A, на­зывают моментом силыотносительно точки О(рис. 4.5). Таким образом, величина в правой части (5.15) есть момент внешней силы, действующей на точку i. Величина в уравнении (5.2), равная:

,

есть сумма моментов всех внутренних сил, действующих на точку i. С учетом введенных обозначений уравнение (5.2) примет вид:α

. (5.4)

Просуммируем уравнения движения по всем n элементам системы:

. (5.5)

Левая часть (5.5) представляет собой момент импульса системы, который равен векторной сумме моментов составляющих систему точек:

. (5.6)

Первое слагаемое в (5.5) есть сумма моментов всех внутренних сил, действующих на систему. Можно показать, что эта сумма равна нулю. В самом деле, рассмотрим сумму моментов внутренних сил для двух точек, i и k (рис. 5.1). Учитывая, что по 3-му закону динамики , получим:

,

так как вектор, равный разности , направлен вдоль сил и . Если попарно просуммировать моменты внутренних сил, то получим, что сумма моментов всех внутренних равна нулю.

Уравнение (5.5) для тела из материальных точек можно представить в виде:

. (5.7)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему. Согласно урав­нению (5.7) момент импульса системы может изменять­ся под действием только суммарного момента всех внеш­них сил.

Если внешние силы отсутствуют, т.е. , то система замкнута и из (4.7) следует закон сохранения момента им­пульса механической системы: момент импульса замкнутой системы частиц остается по­стоянным.

Моменты импульса отдельных частей или час­тиц замкнутой системы могут изменяться со временем, однако эти изменения всегда происходят так, что приращение мо­мента импульса одной части системы равно убыли мо­мента импульса ее другой части (относительно одной и той же точки системы отсчета).

Момент импульса сохраняется для незамкнутых систем, у ко­торых, импульс меняется со временем. Если относительно некоторой точки О выбранной систе­мы отсчета суммарный момент внешних сил , то, со­гласно (5.7), момент импульса системы относительно точки О сохраняется.

В частном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса , а его проекция на некоторую неподвижную ось z, когда проекция суммарного момента всех внешних сил на эту ось равна нулю. За­писав уравнение (5.7) в проекциях на ось z, получим:

. (5.8)

Здесь Liz и Мiz внешн — момент импульса и суммарный мо­мент внешних сил относительно оси z для i-й частицы системы:

. (5.9)

Из уравнения (5.8) следует, что если проекция Мzвнешн =0, то момент импульса системы относи­тельно этой оси сохраняется:

.

Момент силы относительно оси z в (5.8) можно определить, раскрыв векторное произведение по формуле:

где величина l =rsinα называется плечом силы (кратчайшее расстояние от оси до направления действия силы, см. рис.5.2).

Пример 5-1. Расчет момента сил трения.

Диск, радиус которого R и масса m вращается на плоской поверхности вокруг неподвижной оси (рис.4.3). Коэффициент трения скольжения материала диска равен m. Найти момент сил трения диска о поверхность

Момент сил трения, действующих на весь диск, алгебраически складывается из моментов сил трения, действующих на элементарные участки диска массой dm, и направлен перпендикулярно его плоскости (рис.5.3).

Выделим элемент объема dV = drdrda диска на расстоянии r от центра (d – толщина диска). Сила трения скольжения, приложенная к этому элементу равна dF = mgdm. Момент силы трения скольжения для элемента, находящегося на расстоянии r от оси вращения равен:

где dm = rdV = rdrdrda – масса элемента объема диска. Тогда суммарный момент сил трения получим, интегрируя выражение для dM по r в пределах от 0 до R и по a в пределах от 0 до 2π:

.

При получении последнего выражения учитывалось, что масса диска равна m = rdpR 2 .

. Наряду с за­конами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов природы.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 7344 — | 6060 — или читать все.

Найти закон изменения момента силы

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

5.14. Связь вектора момента силы и вектора момента импульса

Всякое движение м.т. или тел происходит в пространстве и времени, поэтому вектор момента импульса м.т. относительно произвольного полюса 0 (формула 5.11), продифференцируем по времени:

.

Однако, если полюс 0 не меняет своего положения в пространстве (неподвижен), первое слагаемое обращается в нуль, т.к. первая производная вектора перемещения по времени есть вектор мгновенной скорости (по определению). Тогда векторы коллинеарны, т.е. направлены в одну и ту же сторону, т.е.

.

Как известно, векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, поэтому

.

Согласно второму закону Ньютона: .

.

Выражение устанавливает связь между вектором момента импульса и вектором момента силы в инерциальной системе отсчета.

Производная вектора момента импульса м.т. по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно этого же полюса.

Это положение можно распространить и на систему м.т. (при этом все внутренние силы можно исключить на основании третьего закона Ньютона). Тогда изменение результирующего вектора момента импульса всех м.т. системы равно геометрической сумме результирующего вектора всех внешних сил, действующих на данную систему м.т., т.е

.

Моменты импульса и моменты сил тел зависят не только от величины и направления этих векторов, но и от пространственного положения полюса (за исключением вектора момента пары сил).

Моменты импульсов тел и моменты сил относительно оси (например, оси z) являются проекциями соответствующих векторов относительно некоторого полюса 0, лежащего на этой оси. Одно векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений как проекций на соответствующие оси x , y, z:

webcache.googleusercontent.com