Правило логарифмирования

Правило логарифмирования

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Формула

Примеры

loga b = c (при a > 0, a ≠ 1, b > 0).

Это означает, что a c = b.

Читается так: логарифмом числа 25 по основанию 5 является 2.
Число 2 является показателем степени.
Это означает, что 5 2 = 25.

Логарифмом числа 64 по основанию 4 является 3.
Это означает, что 4 3 = 64

Говоря иначе, логарифмирование – это действие, обратное возведению в степень.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.

Примеры десятичного логарифма:

Десятичный логарифм обозначают символом lg. Таким образом:

вместо log10 100 следует писать lg 100;

вместо log10 5 пишем lg 5;

вместо log10 0,01 пишем lg 0,01.

Логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

b
Пример : Найдем логарифм x = a 2 · — .
c

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
b
lg x = lg (a 2 · —) = lg a 2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
c

Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).

Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2). Подробнее о потенцировании и его правилах – в следующем разделе.

raal100.narod.ru

Логарифм — свойства, формулы, график

Определение логарифма

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: 0,\; a\ne 1″ class=»sprite» style=»width:105px;height:19px;vertical-align:-5px;background-position: -384px -528px;»> .

График логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . На графике представлены значения логарифма y ( x ) = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0

Если 0,\;a\ne 1)» class=»sprite» style=»width:184px;height:20px;vertical-align:-6px;background-position: -426px -488px;»> , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-03-2014 Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Решение уравнений методом логарифмирования

Разделы: Математика

Целью данного урока является закрепление правил логарифмирования, умения правильно ими пользоваться и выбирать верный ответ с учетом области допустимых значений функций, входящих в уравнения. Приведенные примеры имеют разный уровень сложности, начиная с наиболее простых и заканчивая достаточно сложными. Умение решать подобные задачи поможет ученикам успешно сдать единый государственный экзамен и поступить в вуз.

Прежде чем приступить к решению, устно повторяем правила логарифмирования.

Примеры решения (см. приложение)

Примеры для самостоятельного решения

Первый уровень сложности:

  • x lgx =x 2 ;
  • 2x=32;
  • 3x=81;
  • x lgx =x 100 ;
  • Второй уровень сложности:

  • x=10x 3 ;
  • 2=;
  • x 0,5lgx =0,01x 2 ;
  • x=;
  • Третий уровень сложности:

  • =;
  • =2025;
  • =1.
  • xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Логарифмическое дифференцирование функций

    Метод логарифмического дифференцирования становится пригодным при дифференцировании произведения нескольких функций или их частки. Его удобно применять при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей (функций), а также когда показатель функции также представляет собой функцию

    В таких случаях целесообразно обе части выражения сначала прологарифмировать по основанию , а затем приступить к дифференцировке. Этот способ получил название логарифмического дифференцирования . Производную логарифма функции называют логарифмической производной . Суть метода с помощью формул можно описать следующим образом:

    имеем сложную функцию вида

    к обеим сторонам применяем логарифмирования

    находим производные правой и левой части равенства

    Приравниваем производные и выражаем

    В этом суть метода, дальше все зависит от функции .

    Если она представляет собой произведение функций

    то по свойствам логарифма он будет равен сумме логарифмов

    Если имеем дробь от функций

    то применяя логарифмирования получим

    Если имеем функцию в степени другой

    то по свойствам логарифма получим

    В случае корней дифференцировки значительно упрощается

    Дальнейшее вычисление производных зависит от сложности самих функций. Рассмотрим конкретные примеры, чтобы данный материал стал для Вас более понятным и наглядным.

    Используя логарифмирования найти производную ( Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач» )

    1) (5.2.178)

    2) (5.2.191)

    3) (5.2.195)

    4) (5.2.199)

    Примеры выбрано сложные для того, чтобы раскрыть всю силу метода логарифмического дифференцирования и рассмотреть типичные распространенные примеры.

    1) Проведем логарифмирования левой и правой частей

    Найдем производную правой части

    Производная левой части показана при изложении теоретического материала. Записываем обе части

    Далее переносим функцию из знаменателя в правую часть и не забываем поменять ее значение

    Несмотря на сложный вид данный пример полностью решено.

    2) Используем свойства логарифма к данному примеру

    Проводим дифференцирования обеих частей равенства

    Сведем к общему знаменателю правую сторону. В результате математических операций получим

    Подставим в исходную равенство, перенеся функцию в правую часть

    В результате ряда несложных математических манипуляций получили достаточно компактный конечный результат производной. При исчислении данного примера направления подобный результат пришлось бы искать очень долго.

    3) Несмотря на сложный вид данное выражение, на основе свойств степеней, можно переписать в следующем виде

    Применим к нему логарифмирования

    Производная от правой части будет равна следующему выражению

    Здесь для упрощения дальнейших выкладок введено обозначение .

    Учитывая производную , окончательно получим

    Можно оставлять в таком виде, поскольку суть данного урока научиться применять метод логарифмического дифференцирования. Но если Вы захотите для упрощения свести все к общему знаменателю, то получите следующее выражение

    Поверьте это займет у Вас много времени.

    4) Проводим логарифмирования функции

    Дальше по методике находим производную правой части. Она будет равна выражению

    Подставляя в формулу для производной от , получим

    На этом решения примера завершен.

    Практикуйте с подобными задачами и через некоторое время у Вас не будет никаких трудностей с такого сорта примерами.

    yukhym.com

    Показательные уравнения

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Показательное уравнение

    называется простейшим показательным уравнением.

    Свойства степеней

    Подходы к решению

    • Приведение к одинаковому основанию
    • Приведение к одинаковому показателю степени
    • Замена переменной
    • Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.

    Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

    Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

    Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения является число . Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно в третьей степени? Ты абсолютно прав: . А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что . Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я раз умножаю само на себя число и получаю в результате . Спрашивается, сколько раз я умножил само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

    \begin & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end

    Тогда ты можешь сделать вывод, что само на себя я умножал раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени: . Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем , ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

    где – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь само на себя.

    Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что , тогда моя задачка запишется в виде:

    , откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

    Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

    И даже нашел его корень . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

    Но что же делать? Ведь нельзя записать в виде степени (разумной) числа . Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно: . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

    Откуда, как ты уже понял, . Давай более не будем тянуть и запишем определение:

    Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

    Уравнение вида: , где

    называется простейшим показательным уравнением.

    В нашем с тобой случае: .

    Решаются эти уравнения сведением их к виду:

    c последующим решением уравнения

    Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что . И мы решали с тобой простейшее уравнение .

    Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

    Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число . Но, ничего страшного, ведь , и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

    Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени», которое гласит:

    Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
    \begin & 5x+2=4( -1), \\ & 5x+2=4 -4, \\ & 5 -4 =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end

    Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

    Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

    для любого положительного числа выполняется:

    Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

    youclever.org